[스터디 노트] 13번째 선형대수 (240927), 제로베이스 데이터 분석 스쿨 내용

제로베이스 데이터 분석 스쿨 내용에 대한 기록이다.

13번째는 선형대수 강의이다.

 

12번째에서 데이터 분석과 관련된 파이썬을 마무리했다.

13번째 부터는 선형대수에 대한 내용이다.

옛날에 깃허브에 메모한 자료가 있는데 이어서 작성했다.

 

[벡터 기본]

• 벡터의 정의
  • 물건을 운반하는 물체, 캐리어의 라틴어
  • 사물의 움직임을 표현하기 위한 가장 기본적인 구성요소
  • 크기와 방향을 모두 가지는 양
  • 크기만 가지는 것을 스칼라
• 벡터의 성질
  • 동등성
    • 크기와 방향만을 가진다.
    • 출발 지점은 아무 의미가 없다.
    • 출발 지점이 달라도 크기와 방향이 같으면 같은 벡터이다.
  • 영벡터
    • 크기가 0인 벡터를 영벡터라고 한다.
  • 음 벡터
    • 자신과 더했을 때 결과가 영벡터가 되는 벡터를 음벡터라 한다.
    • a의 음벡터는 -a라고 표시한다.
• 벡터의 성분
  • 벡터를 축에 projection하여 성분을 얻을 수 있다.
  • 성분 또한 벡터이므로 성분 벡터(component vector, a_x, a_y)라고 한다.
  • 2차원 공간에서 벡터는 2개의 성분 벡터를 가지고 a = a_x + a_y로 표시한다.
  • 한 벡터를 자신의 성분벡터의 합으로 나타내는 것을 벡터의 분해라고 한다.
• 단위 벡터
  • 크기가 1이고 방향만 가지는 벡터이다.
  • 벡터의 방향만을 나타낸다.
  • XYZ 좌표계에서 단위 벡터는 i,j,k에 햇을 붙여 표시한다.
  • 다른 말로 기저 벡터(basis)라고 한다.
    
    

[벡터의 연산]

• 공간 상의 위치는 벡터량이다.
• 위치의 변화인 변위(displacement)도 벡터량이다.
• 벡터의 덧셈
  • r = a + b
  • 교환 법칙이 성립한다. a + b = b + a
  • 결합 법칙이 성립한다. (a + b) + c = a + (b + c)
  • 삼각형법, 평행사변형법으로 표현 가능하다.
  • 성분으로 해도 연산은 같게 나온다.
  • r = r_x + r_y = (a_x + b_x) + (a_y + b_y)
• 벡터의 뺄셈
  • r = a - b
  • 교환 법칙이 성립한다.
  • 결합 법칙이 성립한다.
  • 음벡터를 덧셈한 것과 같다.
• 벡터의 곱셈, 내적
  • inner product, dot product, (⋅)로 표시
  • 결과가 스칼라 이다.
  • a⋅b = |a| |b| cosθ
  • 방향이 일치하는 만큼 곱한다.
  • 방향이 같으면 스칼라로 곱한 것과 일치한다.
  • 방향이 90도 이면 0이다.
  • 한 벡터를 다른 벡터로 projection 해서 곱하는 것이다.
  • 교환법칙이 성립한다. a⋅b = b⋅a
  • a⋅b = a_x b_x + a_y b_y
• 벡터의 곱셈, 외적
  • outer product, cross product, (×)로 표시
  • 결과가 벡터 이다.
  • a×b = |a| |b| sinθ, 결과의 방향은 ab 평면에 수직이다.
  • 방향이 같으면 0이 된다.
  • 방향이 90도 이면 평면에 수직인 방향이 되므로 아래와 같다.
  • (XYZ 좌표계에서 i×j = k 가 된다.)
  • 교환법칙이 성립하지 않는다. a×b = -b×a
    
    

[행렬 기본]

• 행렬의 정의
  • (행, 가로, i)와 (열, 세로, j)의 순서쌍으로 이루어진다.
  • 성분
    • 성분 entry, 원소 element, 계수 coefficient
    • 행렬 A_ij의 i번째 행, j번째 열에 있는 것을 뜻한다.
  • 대각선에 있는 성분을 대각 성분 diagonal entry 라고 한다.
  • 행렬의 크기는 행과 열의 수의 순서쌍 (m,n)으로 표시한다.
  • 행과 열의 수가 같으면 정사각행렬, 정방행렬 이라고 한다.
  • 행의 수가 1이면 행벡터 라고 한다.
  • 열의 수가 1이면 열벡터 라고 한다.
• 행렬의 덧셈
  • 행렬의 크기가 같다면 쉽게 가능하다.
  • 위치가 같은 원소들끼리 더해준다.
  • 교환법칙이 성립한다.
• 행렬의 상수배
  • 모든 원소에 상수를 곱해준다.
• 행렬의 곱
  • 앞 행렬(m,n)의 n과 뒷 행렬(m,n)의 m의 크기가 같아야 가능하다.
  • 앞 행렬의 m행과 뒷 행렬의 n열을 내적하여 (m,n) 요소를 만든다.
  • 교환법칙이 성립하지 않는다.
• 전치행렬
  • A^(T)
  • 행렬을 주대각선을 기준으로 뒤집어 놓은 형태이다.
  • 정사각행렬이 아니더라도 전치할 수 있다.
  • (A^(T))^(T) = A
• 역행렬
  • A^(-1)
  • 공식을 따라서 구할 수 있다.

깃허브 링크

 

깃허브 선형대수 공부 부분 링크